TB148 的「世界」

组合数的质因子次数

2025-12-28T04:00:00Z

对于命题 $𝑃$ ，记 $[𝑃] = {\begin{cases} 1, & 𝑃 \\ 0, & \neg 𝑃 \end{cases}$ 。

对于质数 $𝑝$ ，用 $𝜈_{𝑝} (𝑛)$ 为 $𝑛$ 的质因子分解中 $𝑝$ 的次数， $𝜎_{𝑝} (𝑛)$ 表示 $𝑛$ 在 $𝑝$ 进制下的数字和。

定理一：设 $𝑛 \in ℕ$ ， $𝑝$ 是质数，则

𝜈_{𝑝} (𝑛!) = \sum_{𝑘 = 1}^{\infty} ⌊ \frac{𝑛}{𝑝^{𝑘}} ⌋ = \frac{𝑛 - 𝜎_{𝑝} (𝑛)}{𝑝 - 1}

证明：

设 $𝑛 = \sum_{𝑘 = 0}^{\infty} 𝑛_{𝑘} 𝑝^{𝑘}$ ，其中 $𝑛_{𝑘} \in ℕ, 𝑛_{𝑘} < 𝑝$ ，则

\begin{aligned} 𝜈_{𝑝} (𝑛!) \\ = & \sum_{𝑘 = 1}^{𝑛} 𝜈_{𝑝} (𝑘) \\ = & \sum_{𝑘 = 1}^{𝑛} \sum_{𝑗 = 1}^{\infty} [𝑝^{𝑗} ∣ 𝑘] \\ = & \sum_{𝑗 = 1}^{\infty} \sum_{𝑘 = 1}^{𝑛} [𝑝^{𝑗} ∣ 𝑘] \\ = & \sum_{𝑗 = 1}^{\infty} ⌊ \frac{𝑛}{𝑝^{𝑗}} ⌋ \\ = & \sum_{𝑗 = 1}^{\infty} \sum_{𝑖 = 𝑗}^{\infty} 𝑛_{𝑖} 𝑝^{𝑖 - 𝑗} \\ = & \sum_{𝑖 = 0}^{\infty} \sum_{𝑗 = 1}^{𝑖} 𝑛_{𝑖} 𝑝^{𝑖 - 𝑗} \\ = & \sum_{𝑖 = 0}^{\infty} 𝑛_{𝑖} \sum_{𝑗 = 1}^{𝑖} 𝑝^{𝑖 - 𝑗} \\ = & \sum_{𝑖 = 0}^{\infty} 𝑛_{𝑖} \frac{𝑝^{𝑖} - 1}{𝑝 - 1} \\ = & \frac{1}{𝑝 - 1} \sum_{𝑖 = 0}^{\infty} 𝑛_{𝑖} (𝑝^{𝑖} - 1) \\ = & \frac{1}{𝑝 - 1} (\sum_{𝑖 = 0}^{\infty} 𝑛_{𝑖} 𝑝^{𝑖} - \sum_{𝑖 = 0}^{\infty} 𝑛_{𝑖}) \\ = & \frac{𝑛 - 𝜎_{𝑝} (𝑛)}{𝑝 - 1} \end{aligned}

定理一得证。

定理二：设 $𝑛 \in ℕ, 𝑚 \in ℕ$ ， $𝑝$ 是质数，则

𝜈_{𝑝} (𝐶_{𝑛 + 𝑚}^{𝑛}) = \sum_{𝑘 = 1}^{\infty} [𝑛 mod 𝑝^{𝑘} + 𝑚 mod 𝑝^{𝑘} \geq 𝑝^{𝑘}]

证明：

\begin{aligned} 𝜈_{𝑝} (𝐶_{𝑛 + 𝑚}^{𝑛}) \\ = & 𝜈_{𝑝} (\frac{(𝑛 + 𝑚)!}{𝑛! 𝑚!}) \\ = & 𝜈_{𝑝} ((𝑛 + 𝑚)!) - 𝜈_{𝑝} (𝑛!) - 𝜈_{𝑝} (𝑚!) \\ = & \sum_{𝑘 = 1}^{\infty} (⌊ \frac{𝑛 + 𝑚}{𝑝^{𝑘}} ⌋ - ⌊ \frac{𝑛}{𝑝^{𝑘}} ⌋ - ⌊ \frac{𝑚}{𝑝^{𝑘}} ⌋) \\ = & \sum_{𝑘 = 1}^{\infty} (\frac{𝑛 + 𝑚 - (𝑛 + 𝑚) mod 𝑝^{𝑘}}{𝑝^{𝑘}} - \frac{𝑛 - 𝑛 mod 𝑝^{𝑘}}{𝑝^{𝑘}} - \frac{𝑚 - 𝑚 mod 𝑝^{𝑘}}{𝑝^{𝑘}}) \\ = & \sum_{𝑘 = 1}^{\infty} \frac{𝑛 mod 𝑝^{𝑘} + 𝑚 mod 𝑝^{𝑘} - (𝑛 + 𝑚) mod 𝑝^{𝑘}}{𝑝^{𝑘}} \\ = & \sum_{𝑘 = 1}^{\infty} ⌊ \frac{𝑛 mod 𝑝^{𝑘} + 𝑚 mod 𝑝^{𝑘}}{𝑝^{𝑘}} ⌋ \\ = & \sum_{𝑘 = 1}^{\infty} [𝑛 mod 𝑝^{𝑘} + 𝑚 mod 𝑝^{𝑘} \geq 𝑝^{𝑘}] \end{aligned}

其中，最后一行是因为 $0 \leq 𝑛 mod 𝑝^{𝑘} + 𝑚 mod 𝑝^{𝑘} < 2 𝑝^{𝑘}$ 。定理二得证。

由于在 $𝑝$ 进制下计算 $𝑛 + 𝑚$ 时，从右到左第 $𝑘$ 位有进位当且仅当 $𝑛 mod 𝑝^{𝑘} + 𝑚 mod 𝑝^{𝑘} \geq 𝑝^{𝑘}$ ，我们有

推论： $𝜈_{𝑝} (𝐶_{𝑛 + 𝑚}^{𝑛})$ 等于在 $𝑝$ 进制下计算 $𝑛 + 𝑚$ 时进位的次数。

2025-09-28T04:00:00Z

将一天（86400 秒）平分为 262144 份，每份定义为一个时间单位。

$𝑡_{0} = \frac{86400 s}{262144} = \frac{675}{2048} s = 0.329590 s$

将时间单位平方，再乘以重力加速度，乘积定义为一个长度单位。

$𝑙_{0} = 𝑔 𝑡_{0}^{2} = 1.06529 m$

将长度单位立方，得到体积单位。在标准状况下，一体积单位的理想气体的物质的量定义为一物质的量单位。

$𝑛_{0} = \frac{(1 atm) 𝑙_{0}^{3}}{(273.15 K) 𝑅} = 53.9369 mol$

将物质的量单位乘以碳-12 质量的 $\frac{1}{12}$ ，得到的结果定义为质量单位。

$𝑚_{0} = (10^{- 3} kg / mol) 𝑛_{0} = 0.0539369 kg$

理想气体单位制中理想气体常量 $𝑅 = 1$ ，由此可确定温度单位为

$𝑇_{0} = \frac{𝑚_{0} 𝑙_{0}^{2}}{𝑅 𝑡_{0}^{2} 𝑛_{0}} = 0.00125648 K$

需要注意的是，在理想气体单位制中，温度并不具有单独的量纲，而是与能量与物质的量之比有着相同的量纲。这意味着，熵与物质的量的量纲也是相同的。

理想气体单位制对于电磁学采用与亥维赛—洛伦兹单位制类似的做法，因此，电流也不具有单独的量纲。

$𝐼_{0} = \sqrt{𝜀_{0} 𝑚_{0} 𝑙_{0}^{3} 𝑡_{0}^{- 4}} = 6.99475 \times 10^{- 6} A$

主观感受不能和客观现实相提并论。

2024-10-08T04:00:00Z

记 $𝜑 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ，我们有 $𝜑^{2} = 𝜑 + 1$ 。

定理：设 $𝑝 \in ℕ, 𝑞 \in ℕ^{*}$ ，则

| 𝜑 - \frac{𝑝}{𝑞} | > \frac{1}{3 𝑞^{2}}

证明：

若 $| 𝜑 - \frac{𝑝}{𝑞} | > \frac{1}{3}$ ，原命题显然成立。

否则，设 $𝑓 (𝑥) = 𝑥^{2} - 𝑥 - 1 = (𝑥 - 𝜑) (𝑥 + 𝜑 - 1)$ 。

一方面，我们有

\begin{aligned} | 𝑓 (\frac{𝑝}{𝑞}) | \\ = & | (\frac{𝑝}{𝑞} - 𝜑) (\frac{𝑝}{𝑞} + 𝜑 - 1) | \\ \leq & (𝜑 + \frac{1}{3} + 𝜑 - 1) | \frac{𝑝}{𝑞} - 𝜑 | \\ < & 3 | \frac{𝑝}{𝑞} - 𝜑 | \end{aligned}

另一方面，由于 $𝑓 (𝑥)$ 没有有理根，我们也有

\begin{aligned} | 𝑓 (\frac{𝑝}{𝑞}) | \\ = & | {(\frac{𝑝}{𝑞})}^{2} - \frac{𝑝}{𝑞} - 1 | \\ = & | \frac{𝑝^{2} - 𝑝 𝑞 - 𝑞^{2}}{𝑞^{2}} | \\ \geq & \frac{1}{𝑞^{2}} \end{aligned}

联立如上两式可得

3 | 𝜑 - \frac{𝑝}{𝑞} | > \frac{1}{𝑞^{2}}

原命题得证。