TB148 的「世界」

https://tb148.net/feed.xmlTB148 的「世界」Toni Brown 的个人博客2026-05-09T04:21:39.852499736ZToni Brownme@tb148.net黄金分割比的一个性质https://tb148.net/20241008/2024-10-08T04:00:00Z2025-10-12T04:00:00Z记 <math><mi>𝜑</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msqrt><mn>5</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></math>，我们有 <math><msup><mi>𝜑</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>𝜑</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></math>。定理：设 <math><mi>𝑝</mi><mo>∈</mo><mi>ℕ</mi><mo>,</mo><mi>𝑞</mi><mo>∈</mo><msup><mi>ℕ</mi><mo>∗</mo></msup></math>，则<math display="block"><mrow intent="absolute-value($a)"><mo>|</mo><mrow arg="a"><mi>𝜑</mi><mo>−</mo><mfrac><mi>𝑝</mi><mi>𝑞</mi></mfrac></mrow><mo>|</mo></mrow><mo>></mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>3</mn><msup><mi>𝑞</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac></math>证明：若 <math><mrow intent="absolute-value($a)"><mo>|</mo><mrow arg="a"><mi>𝜑</mi><mo>−</mo><mfrac><mi>𝑝</mi><mi>𝑞</mi></mfrac></mrow><mo>|</mo></mrow><mo>></mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></math>，原命题显然成立。否则，设 <math><mrow intent=":function"><mi>f</mi><mo>⁡</mo><mrow intent=":fenced"><mo>(</mo><mi>𝑥</mi><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>=</mo><msup><mi>𝑥</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mi>𝑥</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mrow intent=":fenced"><mo>(</mo><mrow><mi>𝑥</mi><mo>−</mo><mi>𝜑</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow intent=":fenced"><mo>(</mo><mrow><mi>𝑥</mi><mo>+</mo><mi>𝜑</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></math>。一方面，我们有<math display="block"><mtable intent=":equations" columnspacing="0pt"><mtr><mtd style="padding-left:0;text-align:right;float:right;display:math"><mrow intent="absolute-value($a)"><mo>|</mo><mrow arg="a"><mrow intent=":function"><mi>f</mi><mo>⁡</mo><mrow intent=":fenced"><mo>(</mo><mfrac><mi>𝑝</mi><mi>𝑞</mi></mfrac><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow><mo>|</mo></mrow></mtd><mtd style="padding-left:0;text-align:left;vertical-align:middle"><mo>=</mo><mrow intent="absolute-value($a)"><mo>|</mo><mrow arg="a"><mrow intent=":fenced"><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>𝑝</mi><mi>𝑞</mi></mfrac><mo>−</mo><mi>𝜑</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow intent=":fenced"><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>𝑝</mi><mi>𝑞</mi></mfrac><mo>+</mo><mi>𝜑</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>|</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd style="padding-left:0;text-align:right;float:right;display:math"><mspace width="0"></mspace></mtd><mtd style="padding-left:0;text-align:left;vertical-align:middle"><mo>≤</mo><mrow intent=":fenced"><mo>(</mo><mrow><mi>𝜑</mi><mo>+</mo><mfrac displaystyle="false"><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>𝜑</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow intent="absolute-value($a)"><mo>|</mo><mrow arg="a"><mfrac><mi>𝑝</mi><mi>𝑞</mi></mfrac><mo>−</mo><mi>𝜑</mi></mrow><mo>|</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd style="padding-left:0;text-align:right;float:right;display:math"><mspace width="0"></mspace></mtd><mtd style="padding-left:0;text-align:left;vertical-align:middle"><mo><</mo><mn>3</mn><mrow intent="absolute-value($a)"><mo>|</mo><mrow arg="a"><mfrac><mi>𝑝</mi><mi>𝑞</mi></mfrac><mo>−</mo><mi>𝜑</mi></mrow><mo>|</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></math>另一方面，由于 <math><mrow intent=":function"><mi>f</mi><mo>⁡</mo><mrow intent=":fenced"><mo>(</mo><mi>𝑥</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></math> 没有有理根，我们也有<math display="block"><mtable intent=":equations" columnspacing="0pt"><mtr><mtd style="padding-left:0;text-align:right;float:right;display:math"><mrow intent="absolute-value($a)"><mo>|</mo><mrow arg="a"><mrow intent=":function"><mi>f</mi><mo>⁡</mo><mrow intent=":fenced"><mo>(</mo><mfrac><mi>𝑝</mi><mi>𝑞</mi></mfrac><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow><mo>|</mo></mrow></mtd><mtd style="padding-left:0;text-align:left;vertical-align:middle"><mo>=</mo><mrow intent="absolute-value($a)"><mo>|</mo><mrow arg="a"><msup><mrow intent=":fenced"><mo>(</mo><mfrac><mi>𝑝</mi><mi>𝑞</mi></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mfrac><mi>𝑝</mi><mi>𝑞</mi></mfrac><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>|</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd style="padding-left:0;text-align:right;float:right;display:math"><mspace width="0"></mspace></mtd><mtd style="padding-left:0;text-align:left;vertical-align:middle"><mo>=</mo><mrow intent="absolute-value($a)"><mo>|</mo><mfrac arg="a"><mrow><msup><mi>𝑝</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mi>𝑝</mi><mi>𝑞</mi><mo>−</mo><msup><mi>𝑞</mi><mn>2</mn></msup></mrow><msup><mi>𝑞</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>|</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd style="padding-left:0;text-align:right;float:right;display:math"><mspace width="0"></mspace></mtd><mtd style="padding-left:0;text-align:left;vertical-align:middle"><mo>≥</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>𝑞</mi><mn>2</mn></msup></mfrac></mtd></mtr></mtable></math>联立如上两式可得<math display="block"><mn>3</mn><mrow intent="absolute-value($a)"><mo>|</mo><mrow arg="a"><mi>𝜑</mi><mo>−</mo><mfrac><mi>𝑝</mi><mi>𝑞</mi></mfrac></mrow><mo>|</mo></mrow><mo>></mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>𝑞</mi><mn>2</mn></msup></mfrac></math>原命题得证。