黄金分割比的一个性质

（写作于 2024-10-08；更新于2025-10-12）

记 $𝜑 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ，我们有 $𝜑^{2} = 𝜑 + 1$ 。

定理：设 $𝑝 \in ℕ, 𝑞 \in ℕ^{*}$ ，则

| 𝜑 - \frac{𝑝}{𝑞} | > \frac{1}{3 𝑞^{2}}

证明：

若 $| 𝜑 - \frac{𝑝}{𝑞} | > \frac{1}{3}$ ，原命题显然成立。

否则，设 $f (𝑥) = 𝑥^{2} - 𝑥 - 1 = (𝑥 - 𝜑) (𝑥 + 𝜑 - 1)$ 。

一方面，我们有

\begin{matrix} | f (\frac{𝑝}{𝑞}) | & = | (\frac{𝑝}{𝑞} - 𝜑) (\frac{𝑝}{𝑞} + 𝜑 - 1) | \\ \leq (𝜑 + \frac{1}{3} + 𝜑 - 1) | \frac{𝑝}{𝑞} - 𝜑 | \\ < 3 | \frac{𝑝}{𝑞} - 𝜑 | \end{matrix}

另一方面，由于 $f (𝑥)$ 没有有理根，我们也有

\begin{matrix} | f (\frac{𝑝}{𝑞}) | & = | {(\frac{𝑝}{𝑞})}^{2} - \frac{𝑝}{𝑞} - 1 | \\ = | \frac{𝑝^{2} - 𝑝 𝑞 - 𝑞^{2}}{𝑞^{2}} | \\ \geq \frac{1}{𝑞^{2}} \end{matrix}

联立如上两式可得

3 | 𝜑 - \frac{𝑝}{𝑞} | > \frac{1}{𝑞^{2}}

原命题得证。